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数学星空下的“千年谜题”

2019-11-03 15:17:02

数学是最古老的学科。几千年来,一些突出的数学问题一直保密。

例如,数学中最古老的未解之谜——孪生素数猜想,是由古希腊著名数学家欧几里德在大约2300年前提出的。在这个问题上最重大的突破是由中国数学家张唐毅独自在2013年完成的。

1900年,当时的世界数学领袖德国数学家希尔伯特提出了23个雄心勃勃的数学问题。一个世纪后,除了一个问题之外,22个问题全部或部分解决了。

2000年初,美国克莱数学研究所也发起了一项挑战:公开向世界寻求七个数学问题的答案。这些问题涉及纯数学和应用数学中最困难和最迷人的领域:从拓扑学和数论到粒子物理学、密码学、计算理论甚至飞机设计,它们也被称为“千年问题”。

“千年问题”位于数学世界的顶端,可能代表人类智力活动的高峰。每个问题的解决可能意味着找到隐藏未知真相的巨大宝藏。这些问题激励了几代最杰出的数学家加入他们,以便获得开启人类未来文明的密码。

■谜题1:黎曼猜想这是希尔伯特在1900年提出的23个问题中唯一没有解决的问题。

1859年,德国数学家黎曼在提交给柏林科学院的论文中提出了一个猜想,试图完全回答数学中最古老的问题之一:素数在自然数中的分布。早在公元前350年,欧几里德就证明了质数的数量是无限的,但他对质数的分布一无所知。黎曼猜想为此分布规律提出了一个明确的模型。

这个猜想的解决方案可能会打开一扇大门,以前所未有的方式将数学和物理联系起来,从而使当代文明有可能受益于2000年以来数论研究的杰出成就。迄今为止,数论作为最纯粹的数学工具,已经与现实世界深深隔离开来。

■谜题2:杨-米尔斯理论和质量间隙假说1954年,物理学家杨振宁和米尔斯提出了一个用非阿贝尔李群描述基本粒子行为的方程。杨-米尔斯理论被认为是20世纪下半叶最重要的理论和物理成就,是现代规范场论的基础。在自发对称性破缺和渐近自由的概念之后,该理论逐渐发展成为今天的标准模型。

杨-米尔斯方程建立的标准模型准确预测了世界各地实验室观察到的事实。它的应用已经深入到物理的其他分支,如统计物理、凝聚态物理和非线性系统。从实践的角度来看,杨-米尔斯方程取得了很大的成功,但其相应的数学理论尚未建立,特别是需要数学确定的“质量差距假说”。这个假设解释了为什么电子有质量。

质量间隙假说的完整解将提供严格的理论证明,同时也有利于物理学家。以前,物理学家只能观察到电子有质量,但不能解释电子的质量来自哪里。

■谜题3:电脑领域出现了两个影响人类文明进步的主要问题。第一个是希尔伯特的第十个问题:是否有一个机械算法来确定丢番图方程的可解性?英国数学家图灵在思考这个问题的基础上创建了图灵机,并成为创造历史的现代计算机之父。

另一个问题是市盈率和市净率问题。这个问题的核心是研究计算机解决问题的效率。计算机科学家将计算问题分为两类:这里,p指多项式时间。如果一个复杂的问题可以在多项式时间内解决,它被称为p问题,这意味着计算机可以在有限的时间内完成计算。Np指的是不确定的多项式时间。一个复杂的问题不能用多项式时间来解决。如果np问题能够在多项式时间内找到一个算法来求解,那么证明了p=np。

然而,绝大多数现代工业和商业中的大规模计算任务都是np问题。对这个问题的积极回答将对工业、商业甚至互联网产生深远的影响。

■谜题4:纳维尔-斯托克斯方程的数学家和物理学家确信,天气预报和湍流都可以通过纳维尔-斯托克斯方程的解来表征和解释。

19世纪中叶,法国科学家纳维德和英国物理学家斯托克斯提出了描述流体和气体运动行为的方程。该方程揭示了一般分子运动的基本规律,从而对物质运动提供了最深刻和最可靠的理解。它逐渐在天气预报、大气海洋、石油勘探、电气工程、水利工程、机械制造、国防和军事工业(如核弹模拟)、飞机设计、航空动力学、航空航天工程、行星运动等前沿技术和工业制造中发挥核心作用。

破译纳维尔-斯托克斯方程的密码无疑将在科学技术和实践中带来翻天覆地的突破,提高整个现代文明的水平。

■谜题5:庞加莱猜想19世纪末,法国数学家庞加莱在数学中提出了一个简单的问题:苹果如何与甜甜圈区分开来?

这个问题出在拓扑学上,拓扑学是数学中最迷人的领域之一。它以一种深刻而基本的方式展示了身体之间的关系。庞加莱猜想的完全解将有助于人们充分理解物质空间几何结构的存在形式。这个问题的彻底解决将彻底改变半导体等电子器件的设计和制造、万维网的设计、交通规划、动画设计,甚至大脑神经元的结构。

拓扑学不仅广泛应用于泛函分析、李群理论、微分几何、微分方程等许多数学分支,而且在推动物理学发展方面也发挥着重要作用。2016年,三位物理学家分享了诺贝尔奖,因为他们发现了物质的拓扑相及其对拓扑相变理论的杰出贡献。

鉴于庞加莱猜想在理论和工业上的巨大影响,它自然成为拓扑学的圣杯。谢天谢地,这个猜想终于在2004年被俄罗斯天才数学家佩雷尔曼彻底解决了。这也是迄今为止唯一被破译的千年之谜。

■谜题6:伯奇和斯温顿-戴尔推测,希腊亚历山大的数学家丢番图在公元3世纪开始研究一类具有整数系数的不定方程的解。找到这样丢番图方程的整数解开启了代数最辉煌的分支之一。例如,著名的费马大定理是众多丢番图方程的一个极其简单的特例。

对于更复杂的方程,理解方程解的信息变得极其困难。伯奇和斯温顿-戴尔猜想提供了一些困难情况下解决方案的信息。

像黎曼猜想一样,这个问题的答案将增加我们对质数的整体理解,从而有可能找到上帝用自然数创造的代码。

■谜题7:霍奇推测,在20世纪上半叶,数学家们发现了一种研究复杂物体形状的强大方法。基本思想是将尺寸逐渐增大的简单几何块粘在一起,以便近似某一给定物体的形状。这个想法的核心问题在于对物体的近似程度。

基于不同方法的分类,数学家们发明了许多强大的工具,这些工具在实践中被证明是非常有效的,但是缺乏这个过程的几何来源。霍奇猜想断言,对于这些对象中的一类重要对象(射影代数变种),称为霍奇闭链的分量都是几何分量(代数闭链)的组合。用普通的语言来说,霍奇的猜想表明,任何美丽宏伟的宫殿都可以用一堆积木来建造。

最新研究表明,霍奇猜想和广义相对论、量子纠缠和庞加莱猜想可以在更深层次上整合。对它的深刻理解有助于理解宇宙中最深刻和最奇妙的物质组成。(黄逸文,中国科学院数学与系统学院副研究员)

(由中国科学院“科学大院”提供)

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